已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5-2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设Tn是数列{1anan+1}的前n项和，是否存在k

Question

已知数列{a_n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S_n，满足S₅-2a₂=25，且a₁，a₄，a₁₃恰为等比数列{b_n}的前三项
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n是数列{(1)/(anan+1)}的前n项和，是否存在k∈N^*，使得等式1-2T_k=(1)/(bk)成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
∴

(5a1+(5×4)/(2)d)-2(a1+d)=25

(a1+3d)2=a1(a1+12d)

，
解得a₁=3，d=2，
∵b₁=a₁=3，b₂=a₄=9，
∴bn=3n．
（Ⅱ）由（I）可知：a_n=3+2（n-1）=2n+1．
(1)/(anan+1)=(1)/((2n+1)(2n+3))=(1)/(2)((1)/(2n+1)-(1)/(2n+3))，
∴Tn=(1)/(2)[((1)/(3)-(1)/(5))+((1)/(5)-(1)/(7))+…+((1)/(2n+1)-(1)/(2n+3))]=(1)/(2)((1)/(3)-(1)/(2n+3))，
∴1-2Tk=(2)/(3)+(1)/(2k+3)，{(1)/(2k+3)}单调递减，得(2)/(3)<1-2Tk≤(13)/(15)，
而(1)/(bk)=(1)/(3k)∈(0，(1)/(3)]，
所以不存在k∈N^*，使得等式1-2Tk=(1)/(bk)成立．