高手进:高二数学题.已知数列{An}满足A1+2A2+2的平方A3+····+2的n-1次方An=2分之n,(1)求{An}的通项An,(2)设Bn=An分之2n-1,求数列{Bn}的前n项和Sn.

Question

高手进:高二数学题.
已知数列{An}满足A1+2A2+2的平方A3+····+2的n-1次方An=2分之n,(1)求{An}的通项An,(2)设Bn=An分之2n-1,求数列{Bn}的前n项和Sn.

Answer 1

A1+2A2+2的平方A3+····+2的n-1次方An=2分之n
A1+2A2+2的平方A3+····+2的n-1次方An+2的n次方A(n+1)=2分之(n+1)
相减得到2的n次方A(n+1)=2分之(n+1)-2分之n＝0.5
A(n+1)=2^（-n-1)
An=2^（-n)
Bn=An分之2n-1=(2n-1)*2^n
sn=(2-1)2^1+(2*2-1)2^2+...+(2n-1)2^n
2sn= (2-1)2^2+(2*2-1)2^3+...+(2n-1)2^(n+1)
sn=2sn-sn=(2n-1)2^(n+1)-2^(n+1)-2^n-...-2^3-(2-1)2^1
=(2n-1)2^(n+1)-2^(n+2)+6
=(2n-3)2^(n+1)+6