已知函数，设数列满足，，数列满足，…．(Ⅰ)用数学归纳法证明；(Ⅱ)证明．

Question

已知函数，设数列满足，，数列满足，…．
(Ⅰ)用数学归纳法证明；
(Ⅱ)证明．____

Answer 1

【分析】(1)用数学归纳法进行证明，先证明不等式b_n≤当n=1时成立，再假设不等式b_n≤当n=k(k≥1)时成立，进而证明当n=k+1时，不等式b_n≤也成立，最后得到不等式b_n≤对于所有的正整数n成立；
(2)根据(1)的结论，利用放缩法证明S_n，放缩后可以得到一个等比数列，然后根据等比数列前n项公式，即可得到答案．

证明：(Ⅰ)当x≥0时，f(x)=1+≥1．因为a₁=1，
所以a_n≥1(n∈N*)．
下面用数学归纳法证明不等式b_n≤．
(1)当n=1时，b₁=-1，不等式成立，
(2)假设当n=k时，不等式成立，即b_k≤．
那么b_k-1=|a_k+1-|=
≤．
所以，当n=k+1时，不等也成立．
根据(1)和(2)，可知不等式对任意n∈N*都成立．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b_n≤．
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n≤(-1)++…+=(-1)•(-1)•=．
故对任意n∈N^*，S_n．

【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P(n)是关于自然数n的命题，若1)(奠基) P(n)在n=1时成立；2)(归纳) 在P(k)(k为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立，则P(n)对一切自然数n都成立．