递推数列设数列{xn}满足条件：1）x1=1,x2=1,x3=2,x4=42）x{n+4}=x{n+3}+x{n+1}+x{n}求x{n}的通项公式.要求：不许用特征方程、母函数之类的大学内容；不许用数学归纳法提示：此数列与斐波那契数列有一

Question

递推数列
设数列{xn}满足条件：
1）x1=1,x2=1,x3=2,x4=4
2）x{n+4}=x{n+3}+x{n+1}+x{n}
求x{n}的通项公式.
要求：不许用特征方程、母函数之类的大学内容；不许用数学归纳法
提示：此数列与斐波那契数列有一定的关系.

Answer 1

此数列和菲波那契数列有关,但不是菲波那契数列 .
X(n)：1、1、2、4、6、9、15、25、40、64、104、169、273、.
菲波那契数列F(n)：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、.
可见题中所述数列不完全符合菲波那契数列的规律（从第三项开始,任一项等于相邻前两项之和）.显然有：
X(2n+1)=X(2n)+X(2n-1)①；
X(2n+2)=X(2n+1)+X(2n)-(-1)^n②；
F(2n+2)=X(2n+1)+X(2n-1)③；
F(2n+3)=X(2n+2)+X(2n)④；
n≥1.
由②得：X(2n+1)-(-1)^n=X(2n+2)-X(2n)⑤,④-⑤得：2X(2n)=F(2n+3)-X(2n+1)+(-1)^n,即：
X(2n+1)=F(2n+3)-2X(2n)+(-1)^n⑥；
③-①得：X(2n+1)-X(2n)=F(2n+2)-X(2n+1),即X(2n+1)=(1/2)[F(2n+2)+X(2n)]⑦；
由⑥、⑦得：X(2n)=[2F(2n+3)-F(2n+2)+2(-1)^n]/5,由于F(2n+3)=F(2n+2)+F(2n+1),所以：
X(2n)=[F(2n+2)+2F(2n+1)+2(-1)^n]/5⑧；
将⑧带入⑦得：X(2n+1)=[3F(2n+2)+F(2n+1)+(-1)^n]/5⑨；
将⑧、⑨带入①并化简得：X(2n-1)=[3F(2n)+F(2n-1)-(-1)^n]/5⑩；
⑧式进一步化简得：X(2n)=[4F(2n)+3F(2n-1)+2(-1)^n]/5⑾.
⑩、⑾即为所求数列的通项公式,⑩得到奇数项,⑾得到偶数项.
菲波那契数列通项为：F(n)={[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^2}/√5,n≥1.