（1）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=(n+3)(n+4)2（n∈N*）；（2）用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+1n＜2n（n∈N*）

Question

（1）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=((n+3)(n+4))/(2)（n∈N^*）；
（2）用数学归纳法证明不等式1+(1)/(√(2))+(1)/(√(3))+…+(1)/(√(n))＜2√(n)（n∈N^*）

Answer 1

证明：（1）①当n=1时，左边=1+2+3+4=10，右边=((1+3)(1+4))/(2)＝10
左边=右边．
②假设n=k时等式成立，即1+2+3+…+（k+3）=((k+3)(k+4))/(2)，
那么n=k+1时，等式左边=1+2+3+…+（k+3）+（k+4）=((k+3)(k+4))/(2)+（k+4）=((k+4)(k+5))/(2)．等式成立．
综上①②可知1+2+3+…+（n+3）=((n+3)(n+4))/(2)对于任意的正整数成立．
（2）证明：①当n=1时，左边=1，右边=2，∴n=1不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时成立，即
1+(1)/(√(2))+(1)/(√(3))+…+(1)/(√(k))＜2√(k)，
那么当n=k+1时，左边=1+(1)/(√(2))+(1)/(√(3))+…+(1)/(作业帮用户2016-11-30问题解析（1）首先证明当n=10等式成立，再假设n=k时等式成立，得到等式1+2+3+…+（k+3）=((k+3)(k+4))/(2)，下面证明当n=k+1时等式成立，根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．（2）直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=2时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．名师点评本题考点：数学归纳法．考点点评：本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立，本题是一个中档题目．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)