求幂级数在收敛域内和函数,∑n=1到无穷[(-1)^n/n(n+1)]*x^n答案s(x)=1-(1+x)/x*ln(1+x)x属于（-1,0)（0,1]0x=01x=-1

Question

求幂级数在收敛域内和函数,∑ 【n=1到无穷】[(-1)^n /n(n+1)]*x^n
答案s(x)=1-(1+x)/x *ln(1+x) x属于（-1,0)（0,1]
0 x=0
1 x=-1

Answer 1

设S=∑ 【n=1到无穷】[(-1)^n /n(n+1)]*x^n
看式子中的X^n很容易联想到等比的级数求和问题,及其公比q=0或-1时需分开讨论,q=1常数数列也为等比数列!
当X=0时,易知S=0
当X=-1时,S=∑ 【n=1到无穷】1 /n(n+1)知道当n趋向无穷大时极限为1,也即S=1
现在就是当x属于（-1,0)（0,1]时有
S=∑ 【n=1到无穷】[(-1)^n X^n/n-∑ 【n=1到无穷】[(-1)^n X^n/(n+1)
又由级数关系1/(1+x)=1-X+X^2-X^3+.
-1/（1+X）=-1+X-X^2+X^3-.
则两边同时积分有-ln(1+x)=-X+X^2/2-X^3/3+X^4/4-.=∑ 【n=1到无穷】[(-1)^n X^n/n
[ln(1+x)/X]-1=-X/2+X^2/3-X^3/4+.=∑ 【n=1到无穷】[(-1)^n X^n/(n+1)
S=-ln(1+x)- [ln(1+x)/X]+1=1-(1+x)/x *ln(1+x)
即s=1-(1+x)/x *ln(1+x) x属于（-1,0)（0,1]
0 x=0
1 x=-1