定义矩阵方幂运算：设A是一个n×n的矩阵，定义．若，求（1）A2，A3；（2）猜测An（n∈N*），并用数学归纳法证明．

Question

定义矩阵方幂运算：设A是一个n×n的矩阵，定义 ．若 ，
求（1）A ² ，A ³ ；
（2）猜测A ⁿ （n∈N ^* ），并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：
（1）二阶矩阵的知法法则：，按照这个法则，就不难算出A2，A3的值了；（2）根据计算出的n=1、2、3的An的形式，先假设，再根据数学归纳的法则进行证明：①n=1时，等式显然成立；②假设n=k时等式成立，通过矩阵乘法法则，可推导出当n=k+1时，等式也成立．由此可得原等式对任意正整数都成立．

（1）…（2分），…（4分）（2）证明：猜测…（6分）1°n=2时，由（1）知显然成立2°假设n=k时，成立则当n=k+1时，有定义得∴也成立．由1°、2°可知，对任意n∈N*，均成立．  …（15分）
点评：
本题以二阶行列式为载体，考查了数学归纳法的一般步骤，属于中档题．牢记二阶矩阵的乘法法则，并能准确运用，是解决本题的关键．