设函数f（x）=sin2x+acosx+58a-32，x∈[0，π2]的最大值是1，试确定a的值．

Question

设函数f（x）=sin²x+acosx+(5)/(8)a-(3)/(2)，x∈[0，(π)/(2)]的最大值是1，试确定a的值．

Answer 1

．f（x）=1-cos²x+acosx+(5)/(8)a-(3)/(2)=-（cosx-(a)/(2)）²+(1)/(8)（2a²+5a-4），
x∈[0，(π)/(2)]，∴cosx∈[0，1]
（1）若0≤(a)/(2)≤1，即0≤a≤2，
当cosx=(a)/(2)时，f（x）最大．此时(1)/(8)（2a²+5a-4）=1
解得a=(3)/(2)
（2））若(a)/(2)＞1，即a＞2，当x=0时，即cosx=1时，f（x）最大．
此时-（1-(a)/(2)）²(1)/(8)（2a²+5a-4）=1
a=(20)/(13)（不符和条件）
（3）若(a)/(2)＜0，即a＜0，a=-4（舍）或a=(3)/(2)，
当x=(π)/(2)时，f（x）最大．此时-（0-(a)/(2)）²+(1)/(8)（2a²+5a-4）=1
a=(12)/(5)（不符和条件）
综上可得：a=(3)/(2)