已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[-1，4]上的最大值是12．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数f（x）在x∈[t，t+1]上的最小值为g（t），求g（t）的表

Question

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数f（x）在x∈[t，t+1]上的最小值为g（t），求g（t）的表达式．

Answer 1

（1）f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），
∴可设f（x）=ax（x-5）（a＞0），
可得在区间f（x）在区间[-1，(5)/(2)]上函数是减函数，区间[(5)/(2)，4]上函数是增函数
∵f（-1）=6a，f（4）=-4a，f（-1）＞f（4）
∴f（x）在区间[-1，4]上的最大值是f（-1）=6a=12，得a=2．
因此，函数的表达式为f（x）=2x（x-5）=2x²-10x（x∈R）．
（2）由（1）得f（x）=2（x-(5)/(2)）²-(25)/(2)，函数图象的开口向上，对称轴为x=(5)/(2)
①当t+1≤(5)/(2)时，即t≤(3)/(2)时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，
此时f（x）的最小值g（t）=f（t+1）=2（t+1）²-10（t+1）=2t²-6t-8；
②当t≥(5)/(2)时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，
此时f（x）的最小值g（t）=f（t）=2t²-10t；
③当(3)/(2)＜t＜(5)/(2)时，函数y=f（x）在对称轴处取得最小值
此时，g（t）=f（(5)/(2)）=-(25)/(2)
综上所述，得g（t）的表达式为：g（t）=

2t2−6t−8   (t≤(3)/(2))

−(25)/(2)            ((3)/(2)＜t＜(5)/(2))

2t2−10t       (t≥(5)/(2))