设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=2ax+1x2（a∈R）．（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；（2）若a＞-1，试判断f（x）在（0，1）上的单调性，并

Question

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=2ax+(1)/(x2)（a∈R）．
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若a＞-1，试判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1）时，f（x）有最大值-6．

Answer 1

（1）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），f（-x）=-2ax+(1)/(x2)，
∵f（x）是奇函数．∴f（x）=2ax-(1)/(x2)，x∈（0，1]．

（2）证明：∵f′（x）=2a+(2)/(x3)＝2(a+(1)/(x3))，
∵a＞-1，x∈（0，1]，(1)/(x3)≥1，
∴a+(1)/(x3)＞0．即f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，1]上是单调递增函数．

（3）当a＞-1时，f（x）在（0，1]上单调递增．
f（x）_max=f（1）=-6，⇒a=-(5)/(2)（不合题意，舍之），
当a≤-1时，f′（x）=0，x=

3

−(1)/(a)

．
如下表：f_max（x）=f（

3

−(1)/(a)

）=-6，解出a=-2√(2)． x=(√(2))/(2)∈（0，1）．

∴存在a=-2√(2)，使f（x）在（0，1）上有最大值-6．