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设函数f(x)对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时f(x)<0,f(1)=-1.(1)判断f(x)的单调性,并用定义法证明;(2)求f(x)在[0,3]上的值域.
题目详情
设函数f(x)对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时f(x)<0,f(1)=-1.
(1)判断f(x)的单调性,并用定义法证明;
(2)求f(x)在[0,3]上的值域.
(1)判断f(x)的单调性,并用定义法证明;
(2)求f(x)在[0,3]上的值域.
▼优质解答
答案和解析
(1)f(x)在R上是减函数.
∵f(x+y)=f(x)+f(y),
令x=0,则f(0+y)=f(0)+f(y)
∴f(0)=0,
∴f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0
∴f(x)为R上的奇函数,
令x2>x1则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
∵x2>x1,∴x2-x1>0,f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)<0
∴f(x)为R上的单调减函数;
(2)∵f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=-1,
∴f(2)=2f(1)=-2,f(3)=f(2)+f(1)=-3,
∵f(x)在R上是减函数,
∴f(x)在[0,3]上的值域是[f(3),f(0)],即[-3,0].
∵f(x+y)=f(x)+f(y),
令x=0,则f(0+y)=f(0)+f(y)
∴f(0)=0,
∴f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0
∴f(x)为R上的奇函数,
令x2>x1则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
∵x2>x1,∴x2-x1>0,f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)<0
∴f(x)为R上的单调减函数;
(2)∵f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=-1,
∴f(2)=2f(1)=-2,f(3)=f(2)+f(1)=-3,
∵f(x)在R上是减函数,
∴f(x)在[0,3]上的值域是[f(3),f(0)],即[-3,0].
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