已知函数f（x）=ax2-（2a+1）x+lnx，a∈R，（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）设a＜-1，证明：对任意x1，x2∈（2，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥2|x1-x2|．

Question

已知函数 f（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，a∈R，
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）设a＜-1，证明：对任意x₁，x₂∈（2，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|．

Answer 1

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=2ax-（2a+1）+(1)/(x)=(2ax2-(2a+1)x+1)/(x)=((2ax-1)(x-1))/(x)，
①若a=0，则f′（x）=(-(x-1))/(x)，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
②若0＜a＜(1)/(2)，令f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞(1)/(2a)，令f′（x）＜0，得1＜x＜(1)/(2a)，
所以f（x）在（0，1），（(1)/(2a)，+∞）上递增，在（1，(1)/(2a)）上递减；
③若a=(1)/(2)，f′（x）=((x-1)2)/(x)≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
令f′（x）＞0，得0＜x＜(1)/(2a)，或x＞1，令f′（x）＜0，得(1)/(2a)＜x＜1，
所以f（x）在（0，(1)/(2a)），（1，+∞）上单调递增，在（(1)/(2a)，1）上单调递减；
⑤若a＜0，令f′（x）＞0，得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1，
所以f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减；
综上，a=0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上递减；0＜a＜(1)/(2)时，f（x）在（0，1），（(1)/(2a)，+∞）上递增，在（1，(1)/(2a)）上递减；
a=(1)/(2)时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞(1)/(2)时，f（x）在（0，(1)/(2a)），（1，+∞）上单调递增，在（(1)/(2a)，1）上单调递减；
a＜0时，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减；
（Ⅱ）|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|，即|(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)|≥2，所以有|f′（x）|≥2