（2014•广西）函数f（x）=ln（x+1）-axx+a（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：2n+2＜an≤3n+2．

Question

（2014•广西）函数f（x）=ln（x+1）-(ax)/(x+a)（a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a₁=1，a_n+1=ln（a_n+1），证明：(2)/(n+2)＜a_n≤(3)/(n+2)．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=(x[x−(a2−2a)])/((x+1)(x+a)2)，
①当1＜a＜2时，若x∈（-1，a²-2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（-1，a²-2a）上是增函数，
若x∈（a²-2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a²-2a，0）上是减函数，
②当a=2时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（-1，+∞）上是增函数，
③当a＞2时，若x∈（-1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（-1，0）上是增函数，
若x∈（0，a²-2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a²-2a）上是减函数，
若x∈（a²-2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a²-2a，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（-1，+∞）上是增函数，
当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，
即ln（x+1）＞(2x)/(x+2)，（x＞0），
又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，
当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜(3x)/(x+2)，
下面用数学归纳法进行证明(2)/(n+2)＜a_n≤(3)/(n+2)成立，
①当n=1时，由已知
(2)/(3)＜a1＝1，故结论成立．
②假设当n=k时结论成立，即(2)/(k+2)＜ak≤(3)/(k+2)，
则当n=k+1时，a_n+1=ln（a_n+1）＞ln（(2)/(k+2)+1）＞(2×(2)/(k+2))/((2)/(k+2)+2)＝(2)/(k+3)，
a_n+1=ln（a_n+1）＜ln（(3)/(k+2)+1）＜(3×(3)/(k+2))/((3)/(k+2)+3)＝(3)/(k+3)，
即当n=k+1时，(2)/(k+3)＜ak+1≤(3)/(k+3)成立，
综上由①②可知，对任何n∈N^•结论都成立．