通过函数f(x)=x^(1/x)的单调性判定数列{n^(1/n)}中哪一项最大

Question

通过函数f(x)=x^(1/x)的单调性判定数列{n^(1/n)}中哪一项最大

Answer 1

设 y = x^(1/x)
两边取对数：lny = (1/x)*lnx
对x求导：y'/y = 1/x^2 - lnx/x^2
y' = [(1 - lnx)/x^2]*x^(1/x)
令y'=0,得到1- lnx = 0
即x = e
所以当x=e时,函数y = x^(1/x)取最大值,此函数在(0,e]上单增,在[e,+∞)上单减.
那么,对于数列{n^(1/n)},最大值会在n=2或者3时取得.
由于n=2时,n^(1/n) = 根号2 = 1.414；
n=3时,n^(1/n) = 三次根号3 = 1.442；
所以数列的第三项最大.