已知函数f（x）=x2+ax（x≠0，a∈R）（1）判断函数f（x）的奇偶性．（2）若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x²+(a)/(x)（x≠0，a∈R）
  （1）判断函数f（x）的奇偶性．
　（2）若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=x²，函数是偶函数；
当a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）设x₂＞x₁≥2，f（x₁）-f（x₂）=x12+(a)/(x1)-x22-(a)/(x2)=(x1−x2)/(x1x2)[x₁x₂（x₁+x₂）-a]，
∵x₂＞x₁≥2，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，x₁+x₂＞4，
∴x₁x₂（x₁+x₂）＞16，
∵若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，即f（x₁）-f（x₂）＜0，∴x₁x₂（x₁+x₂）-a＞0恒成立，
∴a＜x₁x₂（x₁+x₂）恒成立，
又∵x₁x₂（x₁+x₂）＞16，
∴a≤16
故实数a的取值范围是a≤16．