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已知函数f(x)=|x-a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
题目详情
已知函数f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)由f(x)≤3得|x-a|≤3,
解得a-3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},
所以
解得a=2.(6分)
(2)当a=2时,f(x)=|x-2|.
设g(x)=f(x)+f(x+5),
于是g(x)=|x−2|+|x+3|=
所以当x<-3时,g(x)>5;
当-3≤x≤2时,g(x)=5;
当x>2时,g(x)>5.
综上可得,g(x)的最小值为5.
从而,若f(x)+f(x+5)≥m
即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5].(12分)
解得a-3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},
所以
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(2)当a=2时,f(x)=|x-2|.
设g(x)=f(x)+f(x+5),
于是g(x)=|x−2|+|x+3|=
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所以当x<-3时,g(x)>5;
当-3≤x≤2时,g(x)=5;
当x>2时,g(x)>5.
综上可得,g(x)的最小值为5.
从而,若f(x)+f(x+5)≥m
即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5].(12分)
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