已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）（1）判断f（x）的奇偶性；（2）若x＞0时，f（x）＞0，证明：f（x）在R上为增函数；（3）在条件（2）下，若f（1）=2，解不等式：f（x2+1）-f（2x+5）

Question

已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0时，f（x）＞0，证明：f（x）在R上为增函数；
（3）在条件（2）下，若f（1）=2，解不等式：f（x ² +1）-f（2x+5）＜4．

Answer 1

（1）∵x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）
令x=y=0，得f（0）=0；又令y=-x得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
所以f（-x）=-f（x），因此f（x）是R上的奇函数；…（4分）
（2）证明：设x ₁ ＜x ₂ ，则x ₂ -x ₁ ＞0，f（x ₂ ）-f（x ₁ ）=f（x ₂ ）+f（-x ₁ ）=f（x ₂ -x ₁ ）＞0
即f（x ₂ ）＞f（x ₁ ），因此f（x）在R上为增函数；…（9分）
（3）∵f（1）=2，∴f（2）=2f（1）=4…（11分）
由f（x ² +1）-f（2x+5）＜4，可得f（x ² +1）＜f（2x+5）+f（2）
∴f（x ² +1）＜f（2x+7）
由（2）可得x ² +1＜2x+7，即x ² -2x-6＜0
解得 1-

7

＜x＜1+

7

…（14分）