已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且有①对x∈(0,+∞),y∈R,总有f(x^y)=yf(x);②对x∈(0,1)时,有f(x)＜0.求证：f(x)在(0,+∞)上单调递增

Question

已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且有
①对x∈ (0,+∞),y∈R,总有f(x^y)=yf(x);②对x∈(0,1)时,有f(x)＜0.
求证：f(x)在(0,+∞)上单调递增

Answer 1

假设01.的部分,此时有0x1>1,x2=(x1)^p,p显然是一个大于1的实数.
此时f(x2)-f(x1)=(p-1)f(x1)>0,此时也为增函数.
因为f(x)在（0,1）之间小于0,等于1是等于0,大于1时大于0.综合上面的证明,可知在整个定义域上都是增函数