定义:F(x,y)=xy+㏑x,x∈(0,+∞),y∈R,f(x)=F(x,x/a)（其中a≠0）（1）求f（x）的单调区间（2）若f（x）＜-1/2恒成立,试求实数a的取值范围

Question

定义:F(x,y)=xy+㏑x,x∈(0,+∞),y∈R,f(x)=F(x,x/a)（其中a≠0）
（1）求f（x）的单调区间（2）若f（x）＜-1/2恒成立,试求实数a的取值范围

Answer 1

(1),f(x)=F(x,x/a)=x^2/a+Inx,f'(x)=(x^2/a+Inx)'=(x^2/a)'+(Inx)'=(x^2)'/a+1/x=2x/a+1/x
=(2x^2+a)/ax
当a＞0时,(2x^2+a)/ax在(0,+∞)上恒大于0,所以此时f(x)的单调增区间为(0,+∞),没有单调减区间；
当a＜0时：i)(2x^2+a)/ax＞0时,2x^2+a＜0,2x^2＜-a,x^2＜-a/2,0＜x＜√(-a/2)；
ii)(2x^2+a)/ax≤0时,2x^2+a≥0,x^2≥-a/2,x≥√(-a/2)；
所以此时f(x)的单调增区间为(0,√(-a/2)),单调减区间为[√(-a/2),+∞)
(2)由(1)当a＞0时,f(x)为(0,+∞)上增函数,没有最大值,与题意矛盾；
∴a＜0 当a＜0时,f(x)在(0,√(-a/2))上单调递增,在[√(-a/2),+∞)上单调递减
∴fmax(x)=f(√(-a/2))=1/2+In(√(-a/2)) ∵对x属于(0,+∞)均有f(x)＜-1/2
∴fmax(x)=1/2+In(√(-a/2))＜-1/2,(In(-a/2))/2＜-1/4,In(-a/2)＜-1/2=In(e^(-1/2))
∵y=Inx为(0,+∞)上增函数 ∴-a/2＜1/(e^2),-a＜2/(e^2),a＞-2/(e^2)
∴-2/(e^2)＜a＜0