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求二重积分∫∫xydб,其中D是由两条抛物线y=√x,y=x∧2所围成的闭区间
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求二重积分∫∫xydб,其中D是由两条抛物线y=√x,y=x∧2所围成的闭区间
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答案和解析
∫∫ xy dσ
= ∫(0→1) x dx ∫(x²→√x) y dy
= ∫(0→1) x · [y²/2]：[x²→√x] dx
= ∫(0→1) x/2 · [x - x⁴] dx
= ∫(0→1) (1/2)(x² - x⁵) dx
= (1/2)[x³/3 - x⁶/6]：[0→1]
= (1/2)(1/3 - 1/6)
= 1/12
= ∫(0→1) x dx ∫(x²→√x) y dy
= ∫(0→1) x · [y²/2]：[x²→√x] dx
= ∫(0→1) x/2 · [x - x⁴] dx
= ∫(0→1) (1/2)(x² - x⁵) dx
= (1/2)[x³/3 - x⁶/6]：[0→1]
= (1/2)(1/3 - 1/6)
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