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(9分)如图13,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0)(1)求抛物线的解析式(2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F
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(9分)如图13,抛物线y=ax 2 +bx+c(a≠0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0) (1)求抛物线的解析式 (2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线,垂足为M,过点M作直线MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由. |
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答案和解析
(1)设所求抛物线的解析式为: ,依题意,将点B(3,0)代入,得: 解得:a=-1
∴所求抛物线的解析式为: (2)如图6,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I关于x轴对称, 在x轴上取一点H,连接HF、HI、HG、GD、GE,则HF=HI…………………① 设过A、E两点的一次函数解析式为:y=kx+b(k≠0), ∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2,将x=2代入抛物线 ,得 ∴点E坐标为(2,3) 又∵抛物线 图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D ∴当y=0时, ,∴x=-1或x=3 当x=0时,y=-1+4=3, ∴点A(-1,0),点B(3,0),点D(0,3) 又∵抛物线的对称轴为:直线x=1, ∴点D与点E关于PQ对称,GD=GE…………………② 分别将点A(-1,0)、点E(2,3)代入y=kx+b,得: 解得: 过A、E两点的一次函数解析式为:y=x+1 ∴当x=0时,y=1 ∴点F坐标为(0,1) ∴ =2………………………………………③ 又∵点F与点I关于x轴对称, ∴点I坐标为(0,-1) ∴ ………④ 又∵要使四边形DFHG的周长最小,由于DF是一个定值, ∴只要使DG+GH+HI最小即可 由图形的对称性和①、②、③,可知, DG+GH+HF=EG+GH+HI 只有当EI为一条直线时,EG+GH+HI最小 设过E(2,3)、I(0,-1)两点的函数解析式为: , 分别将点E(2,3)、点I(0,-1)代入 ,得: 解得: 过A、E两点的一次函数解析式为:y=2x-1 ∴当x=1时,y=1;当y=0时,x= ; ∴点G坐标为(1,1),点H坐标为( ,0) ∴四边形DFHG的周长最小为:DF+DG+GH+HF=DF+EI 由③和④,可知: DF+EI= ∴四边形DFHG的周长最小为 。 (3)如图7,由题意可知,∠NMD=∠MDB, 要使,△DNM∽△BMD,只要使 即可, 即: ………………………………⑤ 设点M的坐标为(a,0),由MN∥BD,可得 △AMN∽△ABD, ∴ 再由(1)、(2)可知,AM=1+a,BD= ,AB=4 ∴ ∵ , ∴⑤式可写成: 解得: 或 (不合题意,舍去) ∴点M的坐标为( ,0) 又∵点T在抛物线 图像上, ∴当x= 时,y= ∴点T的坐标为(
作业帮用户
2017-11-04
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