（2007•辽宁）已知函数f（x）=2t2-2（ex+x）t+e2x+x2+1，g（x）=12f′（x）．（I）证明：当t＜22时，g（x）在R上是增函数；（II）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭

Question

（2007•辽宁）已知函数f（x）=2t²-2（e^x+x）t+e^2x+x²+1，g（x）=(1)/(2)f′（x）．
（I）证明：当t＜2√(2)时，g（x）在R上是增函数；
（II）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减函数；
（III）证明：f(x)≥(3)/(2)．

Answer 1

（I）证明：由题设易得g（x）=e^2x-t（e^x-1）+x，g'（x）=2e^2x-te^x+1．又由2ex+e-x≥2√(2)，且t＜2√(2)得t＜2e^x+e^-x，
te^x＜2e^2x+1，即g'（x）=2e^2x-te^x+1＞0．由此可知，g（x）在R上是增函数．
（II）因为g'（x）＜0是g（x）为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时g'（x）=2e^2x-te^x+1＜0，即t＞2e^x+e^-x在闭区间[a，b]上成立即可．因为y=2e^x+e^-x在闭区间[a，b]上连续，故在闭区间[a，b]上有最大值，设其为k，于是在t＞k时，g'（x）＜0在闭区间[a，b]上恒成立，即g（x）在闭区间[a，b]上为减函数．
（III）设F（t）=2t²-2（e^x+x）t+e^2x+x²+1，即F(t)=2(t-(ex+x)/(2))2+(1)/(2)(ex-x)2+1，
易得F(t)≥(1)/(2)(ex-x)2+1．令H（x）=e^x-x，则H'（x）=e^x-1，易知H'（0）=0．当x＞0时，H'（0）＞0；当x＜0时，H'（0）＜0．故当x=0时，H（x）取最小值，H（0）=1．所以(1)/(2)(ex-x)2+1≥(3)/(2)，
于是对任意的x，t，都有F(t)≥(3)/(2)，即f(x)≥(3)/(2)．