若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值,则（）.（A）极大值一定是最大值,且极小值一定是最小值；（B）极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值；（C）极大值不一定是最大

Question

若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值,则（ ）.
（A）极大值一定是最大值,且极小值一定是最小值；
（B）极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值；
（C）极大值不一定是最大值,极小值也不一定是最小值；
（D）极大值必大于极小值 .
答案是C 为什么D是错的?

Answer 1

首先极值和极值点不一样,你这题是要求有唯一的极大值和极小值,这样D就能很容易判断出是错的,因为很容易举出极大值和极小值可以相等的例子：
f(x)为常值函数,f(x)≡c,x∈[a,b],则f(x)的极大值为c,极小值为c,极大值=极小值.
又例如：f(x)=x+1 (x∈[-2,-1]),f(x)=0 (x∈[-1,1]),f(x)=x-1 (x∈[1,2]),
f(x)在[-2,2]上连续,且有唯一的极大值和极小值,极大值=极小值=0.
从图像上来讲,只要函数图像从左到右先上升后持平再上升(或先下降后持平再下降),即能使唯一的极大值和极小值相等.
如果这题是说有唯一的极大值点和极小值点,那就麻烦了.
你会直观上感觉上是对的,主要是因为你画图像分析时会自然的将这个连续函数也看成了可导函数.但是证明又不好证明,其实极大值也不一定大于极小值.
数学家魏尔斯特拉斯在19世纪给出了一个处处连续却处处不可导,且没有单调区间的函数：
魏尔斯特拉斯函数,f(x)=∑(0_∞)a^ncos(b^nπx),其中0