设常数a∈R，若函数f（x）=（a-x）|x|存在反函数f-1（x）．（1）求证：a=0，并求出反函数f-1（x）；（2）若关于x的不等式f-1（x2+m）<f（x）对一切x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Question

设常数a∈R，若函数f（x）=（a-x）|x|存在反函数f^-1（x）．
（1）求证：a=0，并求出反函数f^-1（x）；
（2）若关于x的不等式f^-1（x²+m）<f（x）对一切x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵函数f（x）=（a-x）|x|=

-x2+ax，x≥0

x2-ax，x<0

，
且f（x）存在反函数f^-1（x），
∴f（x）是定义域R的单调增函数，
∴a=0，
（2） 由（1）可得f（x）=-x|x|，
x≥0，f（x）=-x²，f^-1（x）=√(-x)．x<0，f（x）=x²，f^-1（x）=-√(x)，
-2≤x≤0，x²+m<0，不等式f^-1（x²+m）<f（x）可化为√(-x2-m)<x²，
∴m<-x²，且m>-x²-x⁴，
∴m<-4且m>0，不成立．
-2≤x≤0，x²+m>0，不等式f^-1（x²+m）<f（x）可化为-√(x2+m)<x²，
∴m>-x²，∴m>0；
0≤x≤2，x²+m<0，不等式f^-1（x²+m）<f（x）可化为√(-x2-m)<-x²，不成立．
0≤x≤2，x²+m>0，不等式f^-1（x²+m）<f（x）可化为-√(x2+m)<-x²，
∴m>-x²，且m>-x²+x⁴，
∴m>0且m>12，∴m>12．
综上所述，m>12．