二重积分的积分区间关于y=x对称有一些什么性质?

Question

二重积分的积分区间关于y=x对称有一些什么性质?

Answer 1

计算积分区域关于直线 y=x 对称的二重积分
积分区域关于y=x对称的二重积分常可以这样计算
1．积分区域D关于直线y=x对称,则
(1) {D区域} ∫∫f(x,y)dxdy ＝ {D1区域}∫∫f(x,y)dxdy, 当f(y,x) ＝ f(x,y)
＝ 0 ,当f(y,x) ＝ －f(x,y)
其中D1＝{(x,y)|(x,y)∈D,y≥x) 也可换为 D2={(x,y)|(x,y)∈D,y≤x}；
(2) {D区域} ∫∫f(x,y)dσ ＝ {D区域}∫∫f(y,x)dσ
这是二重积分的特殊性质,非常有用.该性质表明,当积分区域D关于直线y=x对称时,二重积分中被积函数的两个变量可以互换位置,常称有此性质的D具有关于积分变量的对称性.