一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”．记集合{1，2，3，…，3n}的子集中所有“好集”的个数为f（n）．（1）求f（1），f（2）的值；（2）求f（n）的表达式．

Question

一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”．记集合 {1，2，3，…，3n}的子集中所有“好集”的个数为f（n）．
（1）求f（1），f（2）的值；
（2）求f（n）的表达式．

Answer 1

（1）n=1时，集合{1，2，3}的子集中“好集”有{3}，{1，2}，{1，2，3}，共3个，
∴f（1）=3．（1分）
当n=2时，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有：
单元集：{3}，{6}共2个，
双元集{1，2}，{1，5}，{2，4}，{4，5}，{3，6}共5个，
三元集有：{1，2，3}，{1，2，6}，{1，3，5}，{1，5，6}，
{4，2，3}，{4，2，6}，{4，3，5}，{4，5，6}共8个，
四元集有{3，4，5，6}，{2，3，4，6}，{1，3，5，6}，
{1，2，3，6}，{1，2，4，5}共五个，
五元集{1，2，4，5，6}，{1，2，3，4，5}共2个，
还有一个全集．
故f（2）=1+（2+5）×2+8=23．（4分）
（2）首先考虑f（n+1）与f（n）的关系．
集合{1，2，3，…，3n，3n+1，3n+2，3n+3}
在集合{1，2，3，…，3n}中加入3个元素3n+1，3n+2，3n+3．
故f（n+1）的组成有以下几部分：
①原还的f（n）个集合；
②含有元素3n+1的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，
含有元素是3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，
含有元素是3n+，3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，
合计是2³ⁿ；
③含有元素是3n+1与3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，
含有元素是3n+2与3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，
含有元素是3n+1与3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，
合计是2³ⁿ；
④含有元素是3n+1，3n+2，3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中“好集”与它的并，
再加上{3n+1，3n+2，3n+3}．
∴f（n+1）=2 f（n）+2×2³ⁿ+1．（7分）
两边同除以2ⁿ⁺¹，得(f(n+1))/(2n+1)-(f(n))/(2n)=4ⁿ+(1)/(2n+1)，
∴(f(n))/(2n)=4^n-1+4^n-2+…+4+(1)/(2n)+(1)/(2n-1)+…+(1)/(22)+(3)/(2)=(4n-1)/(3)+1-(1)/(2n)，
即f（n）=(2n(4n-1))/(3)+2ⁿ-1．（10分）．