如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，A点的坐标为（4，0），点B的坐标为（-2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AO上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接C

Question

如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，A点的坐标为（4，0），点B的坐标为（-2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AO上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D（2，0）．问：是否存在这样的直线l使得△ODF是等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由A（4，0），B（-2，0），设抛物线解析式为y=a（x-4）（x+2），
将C（0，4）代入抛物线解析式得：4=a（0-4）（0+2），
解得：a=-(1)/(2)，
则抛物线解析式为y=-(1)/(2)（x-4）（x+2）=-(1)/(2)x²+x+4；

（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，
∵A（4，0），B（-2，0），
∴AB=6，BQ=m+2，
∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴(EG)/(CO)=(BQ)/(BA)，即(EG)/(4)=(m+2)/(6)，
∴EG=(2m+4)/(3)，
∴S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ
=(1)/(2)BQ•CO-(1)/(2)BQ•EG
=(1)/(2)（m+2）（4-(2m+4)/(3)）
=-(1)/(3)m²+(2)/(3)m+(8)/(3)=-(1)/(3)（m-1）²+3，
又∵-2≤m≤4，
∴当m=1时，S_△CQE有最大值3，此时Q（1，0）；

（3）存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形，理由为：
在△ODF中，分三种情况考虑：
①若DO=DF，
∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，
此时，点F的坐标为（2，2），
由-(1)/(2)x²+x+4=2，
解得：x₁=1+√(5)，x₂=1-√(5)，
此时，点P的坐标为：P（1+

作业帮用户 2017-11-13

问题解析

（1）由抛物线与x轴的两交点A和B的坐标，设出抛物线解析式为y=a（x-4）（x+2），将C坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）可先设Q的坐标为（m，0）；通过求△CEQ的面积与m之间的函数关系式，来得出△CQE的面积最大时点Q的坐标．△CEQ的面积=△CBQ的面积-△BQE的面积．可用m表示出BQ的长，然后通过相似△BEQ和△BCA得出△BEQ中BQ边上的高，进而可根据△CEQ的面积计算方法得出△CEQ的面积与m的函数关系式，可根据函数的性质求出△CEQ的面积最大时，m的取值，也就求出了Q的坐标；
（3）本题要分三种情况进行求解：①当OD=OF时，OD=DF=AD=2，又有∠OAF=45°，那么△OFA是个等腰直角三角形，于是可得出F的坐标应该是（2，2），由于P，F两点的纵坐标相同，因此可将F的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标；②当OF=DF时，如果过F作FM⊥OD于M，那么FM垂直平分OD，因此OM=1，在直角三角形FMA中，由于∠OAF=45°，因此FM=AM=3，也就得出了F的纵坐标，然后根据①的方法求出P的坐标；③当OD=OF时，OF=2，由于O到AC的最短距离为2√(2)，因此此种情况是不成立的，综合上面的情况即可得出符合条件的P的坐标．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了二次函数的综合题：点在抛物线上，则点的横纵坐标满足其二次函数解析式；通过几何关系列出二次函数关系式，并配成抛物线的顶点式y=a（x-h）²+k，当a＜0，x=h，y有最大值k．也考查了三角形相似的判定与性质．要注意的是（3）中不确定等腰三角形的腰是哪些线段时，要分类进行讨论．

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