已知二次函数y=x2-2mx+1．记当x=c时，函数值为yc，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a，b，总有ya+yb≥1．

Question

已知二次函数y=x²-2mx+1．记当x=c时，函数值为y_c，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a，b，总有y_a+y_b≥1．

Answer 1

设y在0≤x≤1的最小值为M，原问题等价于2M≥1，M≥(1)/(2)，
二次函数y=x²-2mx+1的图象是一条开口向上的抛的线，
①当对称轴x=m≤0时，由图象可知，x=0时，y_最小=1，这时1≥(1)/(2)成立；
②当对称轴x=m，0＜m＜1时，由图象可知x=m时，y_最小且y_最小=1-m²，有1-m²≥(1)/(2)，m²≤(1)/(2)，故有0＜m≤(√(2))/(2)；
③当对称轴x=m，m≥1时，由图象可知，x=1时，y_最小且y_最小=2-2m，这时有2-2m≥(1)/(2)，m≤(3)/(4)与m≥1矛盾．
综上可知，满足条件的m存在，且m的取值范围是m≤(√(2))/(2)．