(13分)已知曲线C：的横坐标分别为1和，且a1=5，数列{xn}满足xn+1=tf(xn–1)+1（t>0且）．设区间，当时，曲线C上存在点使得xn的值与直线AAn的斜率之

Question

(13分) 已知曲线 C ： 的横坐标分别为1和 ，且 a ₁ =5，数列{ x _n }满足 x _{n +1} = tf ( x _n – 1) + 1（t > 0且 ）．设区间 ，当 时，曲线 C 上存在点 使得 x _n 的值与直线 AA _n 的斜率之半相等．
(1)    证明： 是等比数列；
(2)    当 对一切 恒成立时，求 t 的取值范围；
(3)    记数列{ a _n }的前 n 项和为 S _n ，当 时，试比较 S _n 与 n + 7的大小，并证明你的结论．

Answer 1

(Ⅰ)略   (Ⅱ) 0< t <  （Ⅲ）

：(1) ∵由已知得  ∴
由
∴ 即
∴ 是首项为 2+1为首项，公比为2的等比数列. ········ 4分
(2) 由(1)得 =（ 2+1）·2 ^n-1 ，∴
从而 a _n =2x _n －1=1+ ，由 D _n+1 D _n ，得 a _n+1 <a _n ，即 .   
∴0<2 t <1，即0< t < 9分
(3) 当 时，   ∴
不难证明：当n≤3时，2 ^n-1 ≤n+1；当n≥4时，2 ^n-1 >n+1.
∴当n≤3时，            
当n≥4时，
综上所述，对任意的 13分