已知函数y=x2+2(m+3)x+2m+4.(2)该函数的图像与x轴交点的横坐标分别为x1、x2,当m为何值时,（x1-1）2+（x2-1）2有最小值,并求这个最小值.

Question

已知函数y=x2+2(m+3)x+2m+4.(2)该函数的图像与x轴交点的横坐标分别为x1、x2,当m为何值时,（x1-1）2+（x2-1）2有最小值,并求这个最小值.

Answer 1

令 x^2+2(m+3)x+2m+4 = 0 ,
因为判别式 = 4(m+3)^2-4(2m+4) = 4(m+2)^2+4 > 0 ,
所以方程恒有两个不相等的实根,因此抛物线 y = x^2+2(m+3)x+2m+4 与 x 轴恒有两个不同交点,
由 x1+x2 = -2(m+3) ,x1*x2 = 2m+4 得
(x1-1)^2+(x2-1)^2 = (x1+x2)^2-2x1*x2-2(x1+x2)+2
= 4(m+3)^2-2(2m+4)+4(m+3)+2
= 4(m+3)^2+6 ,
因此当 m = -3 时,所求值最小,最小值为 6 .