如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx经过A（2，0），直线y=12x+m分别交x轴、y轴于点C、B，点D是抛物线上横坐标为m的点，作DE⊥x轴于E，DE所在的直线与直线y=12x+m交于点F．（1）求该抛物

Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx经过A（2，0），直线y=(1)/(2)x+m分别交x轴、y轴于点C、B，点D是抛物线上横坐标为m的点，作DE⊥x轴于E，DE所在的直线与直线y=(1)/(2)x+m交于点F．
（1）求该抛物线解析式；
（2）随着m的变化，试探究：
①当m取何值时，点D和点F重合；
②当1＜m＜2时，用含m的代数式表示DF的长度；
（3）将DF绕D顺时针旋转90°得到DF′，连结E F′，是否存在△DE F′与△CEF相似？若有，请求出m的值；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-x²+bx经过A（2，0），
∴-2²+2b=0，
解得b=2，
∴该抛物线解析式为y=-x²+2x；

（2）①∵y=-x²+2x，
∴当x=m时，y=-m²+2m，
即D点坐标为（m，-m²+2m），
∵y=(1)/(2)x+m，
∴当x=m时，y=(1)/(2)m+m=(3)/(2)m，
即F点坐标为（m，(3)/(2)m）．
∵点D和点F重合，
∴-m²+2m=(3)/(2)m，
解得m₁=0（不合题意，舍去），m₂=(1)/(2)；
综上所述，m的值是(1)/(2)；

②∵y=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），
∴当1＜m＜2时，点F在点D的上方，
∴DF=EF-DE=(3)/(2)m-（-m²+2m）=m²-(1)/(2)m；

（3）存在m=(3)/(2)或m=1，使△DE F′与△CEF相似．
理由如下：令y=0，则(1)/(2)x+m=0，
解得x=-2m，
∴C（-2m，0），
∵点D的横坐标是m，
∴D（m，-m²+2m），F（m，(3)/(2)m），E（m，0），
∴CE=3m，EF=(3)/(2)m，DE=-m²+2m，DF′=DF=m²-(1)/(2)m，
∴(EF)/(CE)=((3)/(2)m)/(3m)=(1)/(2)，(DE)/(DF′)=(−m2+2m)/(m2−(1)/(2)m)=(−2m+4)/(2m−1)，
∵△DE F′与△CEF相似，
∴(−2m+4)/(2m−1)=(1)/(2)或(−2m+4)/(2m−1)=2，
解得m=(3)/(2)或m=1，
故，存在m=(3)/(2)或m=1，使△DE F′与△CEF相似．