已知函数f（x）=2lnx+x2-ax+2（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈[-2，0），不等式f（x0）>a2+3a+2-2mea（a+1）（其中e是自然对数的底数）都成立

Question

已知函数f（x）=2lnx+x²-ax+2（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，1]，使得对任意的a∈[-2，0），不等式f（x₀）>a²+3a+2-2me^a（a+1）（其中e是自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)=(2)/(x)+2x-a=(2x2-ax+2)/(x)(x>0)．
令h（x）=2x²-ax+2，△=a²-16．
①当a≤0时，-ax≥0，∴f′(x)=(h(x))/(x)>0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当0<a≤4时，△=a²-16≤0，所以h（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a>4时，△=a²-16>0，
令h（x）=0，得x1=(a-√(a2-16))/(4)>0，x2=(a+√(a2-16))/(4)>0，
f′（x）>0⇒x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）；f′（x）<0⇒x∈（x₁，x₂）．
所以，f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）单调递减．
综上，1°当a≤1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
2°当a>1时，f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）单调递减．
（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a∈[-2，0）时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，
所以当x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=3-a，对任意的a∈[-2，0），
都存在x₀∈（0，1]，使得不等式2mea(a+1)+f(x0)>a2+3a+2成立，
即对任意的a∈[-2，0），2mea(a+1)+f(x0)max>a2+3a+2都成立，
即对任意的a∈[-2，0），不等式2me^a（a+1）-a²-4a+1>0都成立，
记h（a）=2me^a（a+1）-a²-4a+1，则h'（a）=2me^a（a+2）-2a-4=2（a+2）（me^a-1）．∵a∈[-2，0），∴ea∈[(1)/(e2)，1)，且a+2≥0．
①当m≤1时，me^a-1<0，∴h'（a）≤0，即a∈[-2，0）时，h（a）单调递减．
∴h（a）>0，只需h（0）≥0，解得m≥-(1)/(2)，∴m∈[-(1)/(2)， 1]．
②当m>1时，令h'（a）=0得a=-2或a=-lnm，因为a∈[-2，0），所以2（a+2）≥0．
（ⅰ）当1<m<e²时，-lnm∈[-2，0），当a∈（-2，-lnm）时，h'（a）<0；
当a∈（-lnm，0）时，h'（a）>0，∴h(a)min=h(-lnm)=-ln2m+2lnm+3>0，
解得m∈((1)/(e)，e3)，∴m∈（1，e²）．
（ⅱ）当m≥e²时，因为-2≤a<0，所以(1)/(e2)≤ea<1，所以me^a≥1，所以h'（a）≥0，
则h（a）在[-2，0）上单调递增，得h（-2）=5-2me^-2>0，即m<(5e2)/(2)，∴m∈[e2

作业帮用户 2018-02-05