为什么对一些不定积分不能直接使用那对数公式如：∫1/(a^2-x^2)dx对这个函数的不定积分为什么不能直接写成ln|a^2-x^2|+C呢而要这么来做∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)∫[1/(a-x)+1/(a+x)]dx然后再来分别积

Question

为什么对一些不定积分不能直接使用那对数公式
如：
∫1/(a^2-x^2)dx 对这个函数的不定积分 为什么不能直接写成 ln|a^2-x^2|+C呢
而要这么来做 ∫1/(a^2-x^2)dx =(1/2a)∫[1/(a-x)+1/(a+x)]dx 然后再来分别积分 (1/2a)*[ln|a-x|+ln|a+x|]+C呢

Answer 1

1、对 ln|a^2-x^2|+C求导,可得（-2x）/(a^2-x^2),和题中的积分式不一样,我们可以用这种将答案求导的方式来检验答案是否正确.
2、对于基本积分表中的∫（1/x）dx=ln|x|+C,切记公式中分母x的指数为1,方能套用此公式.若x的指数不为1,则看是否可降阶分解或套用其他的公式.
∫(1/x)dx=ln|x|+C可延伸为∫[1/(a±x)]dx=±ln|x|+C(同取正号或同取负号) .