已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x（1）若f(2)=3求f(1)又若f(0)=a求f(a)（2）设有且仅有一个实数x,使得f(x)=x求f(x)

Question

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x
（1） 若f(2)=3 求f(1) 又若f(0)=a 求f(a)
（2） 设有且仅有一个实数x,使得f(x)=x 求f(x)

Answer 1

(一）因f[f(x)-x²+x]=f(x)-x²+x.（x∈R).令x=2,并注意f(2)=3,可得f(1)=1.同理可知,f(a)=a.(二）可设这个唯一的数是m(m是已知常数）,使得f(m)=m.在题设等式中,令x=m,注意f(m)=m.则有f(2m-m²)=2m-m².由题设,满足f(x)=x的数仅有一个m,故2m-m²=m.===>m=0,或m=1.对比f[f(x)-x²+x]=f(x)-x²+x及f(x)=x,以及题设,可知f(x)-x²+x=m.===>f(x)=x²-x+m.因由题设知,关于x的方程f(x)=x仅一个实根,即方程x²-x+m=x仅一个实根.===>(x-1)²=1-m.易知,仅当m=1,方程f(x)=x有唯一实根.故m=1,此时f(x)=x²-x+1.