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已知函数f(x)=-x^2+2ex+m-1,g(x)=x+(e^2)/x(x>0)(1)若函数h(x)=g(x)-m有零点,求m的取值范围(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根
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已知函数f(x)=-x^2+2ex+m-1,g(x)=x+(e^2)/x (x>0)(1)若函数h(x)=g(x)-m有零点,求m的取值范围(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根
▼优质解答
答案和解析
(1)方法一:∵g(x)=x+e^2/x ≥2e^2=2e,等号成立的条件是x=e.
故g(x)的值域是[2e,+∞),
因而只需m≥2e,则g(x)=m就有实根.
故m的取值范围是{m|m≥2e}.
方法二:解方程由g(x)=m,得x^2-mx+e^2=0.
此方程有大于零的根,
故 m/2 >0
△=m^2-4e^2≥0 ,
等价于 m>0
m≥2e或m≤-2e ,
故m≥2e.
故m的取值范围是{m|m≥2e}.
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,
即g(x)=f(x)中,函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,
作出g(x)=x+e^2/x (x>0)的图象,
∵f(x)=-x^2+2ex+m-1
= --(x-e)^2+m-1+e^2,
其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e^2,
故当m-1+e^2>2e,
即m>-e^2+2e+1时,
g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,
即g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,
∴m的取值范围是:(-e^2+2e+1,+∞).
故g(x)的值域是[2e,+∞),
因而只需m≥2e,则g(x)=m就有实根.
故m的取值范围是{m|m≥2e}.
方法二:解方程由g(x)=m,得x^2-mx+e^2=0.
此方程有大于零的根,
故 m/2 >0
△=m^2-4e^2≥0 ,
等价于 m>0
m≥2e或m≤-2e ,
故m≥2e.
故m的取值范围是{m|m≥2e}.
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,
即g(x)=f(x)中,函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,
作出g(x)=x+e^2/x (x>0)的图象,
∵f(x)=-x^2+2ex+m-1
= --(x-e)^2+m-1+e^2,
其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e^2,
故当m-1+e^2>2e,
即m>-e^2+2e+1时,
g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,
即g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,
∴m的取值范围是:(-e^2+2e+1,+∞).
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