如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧OB上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2=PE•PF；（2）当∠BOP=30°，P点为OB

Question

如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O₁的弦，过B点作⊙O₁的切线，P为劣弧

OB

上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．
（1）求证：PD²=PE•PF；
（2）当∠BOP=30°，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S_△DEF．

Answer 1

（1）证明：连接PB，OP，
∵PE⊥AB，PD⊥OB，
∴∠BEP=∠PDO=90°，
∵AB切⊙O₁于B，∠ABP=∠BOP，
∴△PBE∽△POD，
∴(PB)/(OP)=(PE)/(PD)，
同理，△OPF∽△BPD
∴(PB)/(OP)=(PD)/(PF)，
∴(PE)/(PD)=(PD)/(PF)，
∴PD²=PE•PF；

（2）连接O₁B，O₁P，
∵AB切⊙O₁于B，∠POB=30°，
∴∠ABP=30°，
∴∠O₁BP=90°-30°=60°，
∵O₁B=O₁P，
∴△O₁BP为等边三角形，
∴O₁B=BP，
∵P为弧BO的中点，
∴BP=OP，
即△O₁PO为等边三角形，
∴O₁P=OP=a，
∴∠O₁OP=60°，
又∵P为弧BO的中点，
∴O₁P⊥OB，
在△O₁DO中，∵∠O₁OP=60°O₁O=a，
∴O₁D=(1)/(2)a，OD=(√(3))/(2)a，
过D作DM⊥OO₁于M，∴DM=(1)/(2)OD=(√(3))/(4)a，
OM=√(3)DM=(3)/(4)a，
∴D（-(√(3))/(4)a，(3)/(4)a），
∵∠O₁OF=90°，∠O₁OP=60°
∴∠POF=30°，
∵PE⊥OA，
∴PF=

作业搜用户 2017-10-13