β是方程组AX=b的一个解，a1，a2，…an-r是其导出组的一个基础解系．求证：（1）a1，a2，…an-r，β线性无关；（2）β+a1，β+a2，…β+an-r，β也线性无关．

Question

β是方程组AX=b的一个解，a₁，a₂，…a_n-r是其导出组的一个基础解系．求证：
（1）a₁，a₂，…a_n-r，β线性无关；
（2）β+a₁，β+a₂，…β+a_n-r，β也线性无关．

Answer 1

证明：（1）显然a₁，a₂，…a_n-r是线性无关的，假设a₁，a₂，…a_n-r，β线性相关，则
存在一组非零实数k₀、k₁、k₂、…、k_n-r，使得
k₀β+k₁α₁+…+k_n-rα_n-r=0
∴k₀≠0，否则a₁，a₂，…a_n-r线性相关
∴β＝−(1)/(k0)(k1α1+…+kn−rαn−r)
这说明，β是导出组AX=0的基础解系a₁，a₂，…a_n-r的线性组合
∴β是导出组AX=0的解
这与β是方程组AX=b的一个解矛盾
故a₁，a₂，…a_n-r，β线性无关
（2）由于（β+a₁，β+a₂，…β+a_n-r，β）=（a₁，a₂，…a_n-r，β）

1	0	…	0	0
0	1	…	0	0
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
0	0	…	1	0
1	1	1	1	1

(n−r+1)
显然，秩

1	0	…	0	0
0	1	…	0	0
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
0	0	…	1	0
1	1	1	1	1

作业帮用户 2017-11-13

问题解析

（1）利用反证法，得到与β是方程组AX=b的一个解相矛盾的结论；（2）将（β+a₁，β+a₂，…β+a_n-r，β）写成（a₁，a₂，…a_n-r，β）与矩阵相乘的形式，通过矩阵秩的关系，证明处秩（β+a₁，β+a₂，…β+a_n-r，β）=n-r+1即可．

名师点评

本题考点：

向量组线性无关的判定与证明．

考点点评：

此题考查用线性方程组解的性质和向量组的秩来判断向量组的相关性，对这些判定方法和定理要熟悉．

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