已知数列{an}满足a1=a，an+1=2an+λan，（a，λ∈R）（Ⅰ）若λ=-2，数列{an}单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=2，试写出an≥2对任意n∈N*成立的充要条件，并证明你的结论．

Question

已知数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=2a_n+(λ)/(an)，（a，λ∈R）
（Ⅰ）若λ=-2，数列{a_n}单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a=2，试写出a_n≥2对任意n∈N^*成立的充要条件，并证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）若λ=-2，则a_n+1=2a_n-(2)/(an)，
∵a_n+1＞a_n，∴a_n+1-a_n＞0，
∴a_n-(2)/(an)＞0，
即(an2−2)/(an)＞0，
∴a_n＞√(2) 或-√(2)＜a_n＜0，
∴只需a₁＞√(2) 或-√(2)＜a₁＜0；
∴实数a的取值范围是（-√(2)，0）∪（√(2)，+∞）．
（Ⅱ） a_n≥2对任意n∈N^*成立的充要条件为λ≥-4．
必要性：假设a_n+1=2a_n+(λ)/(an)≥2，得λ≥-2an2+2a_n，
令f（n）=-2(an−(1)/(2))2+(1)/(2)，a_n≥2，
∴f（n）_max=-4，即λ≥-4．
充分性：用数学归纳法证明λ≥-4时，对一切n∈N^*，a_n≥2成立．
证明：（1）显然n=1时，结论成立；
（2）假设n=k（k≥1）时结论成立，即a_k≥2，
当n=k+1时，a_k+1=2a_k+(λ)/(ak)．
考察函数f（x）=2x+(λ)/(x)，x∈[2，+∞），
①若-4≤λ≤0，由f′（x）=2-(λ)/(x2)＞0，知f（x）在区间[2，+∞）上单调递增．由假设得a_k+1=2a_k+(λ)/(ak)≥4+(λ)/(2)≥2．
②若λ＞0，对x∈[2，+∞）总有f（x）=2x+(λ)/(x)＞4＞2，
则由假设得a_k+1=2a_k+(λ)/(ak)＞2；
所以，n=k+1时，结论成立，
综上可知：当λ≥-4时，对一切n∈N^*，a_n≥2成立．
所以，a_n≥2对任意n∈N^*成立的充要条件是λ≥-4．