（1）求（1+x+x2+x3）（1-x）7的展开式中x4的系数；（2）求（x+-4）4的展开式中的常数项；（3）求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中x3的系数．

Question

（1）求（1+x+x²+x³）（1-x）⁷的展开式中x⁴的系数；
（2）求（x+-4）⁴的展开式中的常数项；
（3）求（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）⁵⁰的展开式中x³的系数．

Answer 1

（1）由等比数列的前n项和公式，可将原式化为（1-x⁴）（1-x）⁶，进而分析x⁴取得的情况，计算可得答案，
（2）对（x+-4）⁴变形可得，分析可得，要在展开式中取得常数项，则必须在（2-x）⁸中取得x⁴项，进而由二项式定理，计算可得答案；
（3）根据题意，原式可变形为，要在展开式中取得x³项，必须在（1+x）⁵¹取得x⁴项，进而由二项式定理，计算可得答案．
【解析】
（1）原式=（1-x）⁷=（1-x⁴）（1-x）⁶，
展开式中x⁴的有两种情况，在（1-x⁴）中取（-x⁴），在（1-x）⁶中取1，或在（1-x⁴）中取（1），在（1-x）⁶中取x²，
其系数为（-1）⁴C₆⁴-1=14．
（2）（x+-4）⁴==，
要在展开式中取得常数项，则必须在（2-x）⁸中取得x⁴项，
故其原式的展开式中常数项为C₈⁴2⁴•（-1）4=1120．
（3）原式==；
要在展开式中取得x³项，必须在（1+x）⁵¹取得x⁴项，
故其原式的展开式中x³的系数为C₅₁⁴．