已知：的二项展开式前三项的二项式系数和等于79．（1）求展开式的二项式系数之和与系数之和；（2）求展开式中系数最大的项．

Question

已知： 的二项展开式前三项的二项式系数和等于79．
（1）求展开式的二项式系数之和与系数之和；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

已知： 的二项展开式前三项的二项式系数和等于79．
（1）求展开式的二项式系数之和与系数之和；
（2）求展开式中系数最大的项．

（1）根据题意， 的二项展开式的通项为T _r+1 =2 ^r C _n ^r （ ） ^n﹣r x ^r ，
由其二项展开式前三项的二项式系数和等于79，
则C _n ⁰ +C _n ¹ +C _n ² =79，即1+n+ =79，
又由n∈N，解可得n=12，
则其展开式二项式系数之和为2 ¹² =4096，
令x=1，可得（ +2） ¹² =（ ） ¹² ，即其展开式的系数之和（ ） ¹² ，
（2）设T _k+1 项的系数最大．
∵（ +2x） ¹² =（ ） ¹² （1+4x） ¹² ，
∴
∴9.4＜k＜10.4，
∴k=10，
∴展开式中系数最大的项为T ₁₁ ．T ₁₁ =（ ） ¹² C ₁₂ ¹⁰ 4 ¹⁰ x ¹⁰ =16896x ¹⁰ ．
故其展开式中系数最大的项16896x ¹⁰ ．