已知数列，满足：．（1）若，求数列的通项公式；（2）若，且．①记，求证：数列为等差数列；②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满

Question

已知数列 ， 满足： ．
（1）若 ，求数列 的通项公式；
（2）若 ，且 ．
① 记 ，求证：数列 为等差数列；
② 若数列 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项 应满足的条件．

Answer 1

已知数列 ， 满足： ．
（1）若 ，求数列 的通项公式；
（2）若 ，且 ．
① 记 ，求证：数列 为等差数列；
② 若数列 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项 应满足的条件．

（1）
（2）①根据等差数列的定义，证明相邻两项的差为定值来得到证明。从第二项起满足题意即可。
②当 ，数列 任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次

试题分析：（1）当 时，有
．
又 也满足上式，所以数列 的通项公式是 ．    4分
（2）①因为对任意的 ，有 ，所以，
，
所以，数列 为等差数列．                    8分
②设 （其中 为常数且 ，
所以， ，
即数列 均为以7为公差的等差数列．               10分
设 ．
（其中 为 中一个常数）
当 时，对任意的 ，有 ；             12分
当 时， ．
（Ⅰ）若 ，则对任意的 有 ，所以数列 为递减数列；
（Ⅱ）若 ，则对任意的 有 ，所以数列 为递增数列．
综上所述，集合 ．
当 时，数列 中必有某数重复出现无数次；
当 时，数列 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列

作业帮用户 2017-11-10

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