全微分求原函数多元函数dz=2xdx-2ydy,dz=d(x^2-y^2),得z=x^2-y^2+C一元函数,dy=dx^2,“两边积分”,由积分和微逆运算,可脱掉微分号,得y=x^2+C.命题：两个函数的全微分相等,则这两个函数至多差一个常数,

Question

全微分求原函数
多元函数dz=2xdx-2ydy,dz=d(x^2-y^2),得z=x^2-y^2+C
一元函数,dy=dx^2,“两边积分”,由积分和微逆运算,可脱掉微分号,得y=x^2+C.
命题：两个函数的全微分相等,则这两个函数至多差一个常数,即 若 df(x,y)=dg(x,y),则 f(x,y)-g(x,y)=C.
怎么证明呢?这个定理书上好像都没的.
另外,
dz=d(x^2-y^2)
z=x^2-y^2+C
对多元函数来说,是利用如上定理得出的结论吧?而不是像一元函数那样两边积分吧?因为dz=d(x^2-y^2)含有2个自变量,两边积分的话那对谁积分呢?所以两边积分的角度考虑不对.

Answer 1

1、证明：假设f(x,y)-g(x,y)=C+h(x,y),则固定住y,两边对x求导得,df(x,y)-dg(x,y)=dh(x,y),因为 df(x,y)=dg(x,y),所以,dh(x,y)＝0,故固定住y,h(x,y)为一常数,同理,固定住x,两边对y求导,df(x,y)-dg(x,y)=dh(x,y),因为 df(x,y)=dg(x,y),所以,dh(x,y)＝0,故h(x,y)为一常数.综上所述,f(x,y)-g(x,y)=C.
2、这是一个多元函数积分得到的.