设*是A上的二元运算（1）若存在单位元证明单位元是唯一的（2）若*满足结合率,证明逆元是唯一的设*是A上的二元运算（1）若存在单位元证明单位元是唯一的（2）若*满足结合率,证明逆

Question

设*是A上的二元运算 （1）若存在单位元 证明单位元是唯一的 （2）若*满足结合率,证明逆元是唯一的
设*是A上的二元运算
（1）若存在单位元 证明单位元是唯一的
（2）若*满足结合率,证明逆元是唯一的

Answer 1

（1）
“单位元”的定义就是：这个元素与A中的任何一个元素作*运算结果必等于那个元素,这个元素就叫做单位元.
“单位元是唯一的”,也就是说,如果元素I是单位元,J也是单位元,那么I和J一定是同一个.
证明如下：
根据单位元的定义,I是单位元,则I*J应该等于J；
又因为J是单位元,则I*J应该等于I；
即：I*J既等于J,又等于I.所以J = I ,即I和J是同一个元素.
（2）
对于元素a,设b是它的逆元,c也是它的逆元,下面证明一定b = c.其中引用了“逆元”的定义、“单位元”的定义、“结合律”.如下：
b = b * 单位元 = b * （a * c）= （b * a）* c = 单位元 * c = c