几个数学问题,请高手回答一下.1.1^2+2^2+3^2+4^2+……（N-1）^2=[(N-1)N(2N-1)]/6是怎么证出来的?2.1^2+2^2+3^2+4^2+……（N-1）^2+N^2=?3.同样1^3+2^3+3^3+4^3+……（N-1）^3+N^3=?4.那么1^m+2^m+3^m+4^m+……（N-1）^m+N^m

Question

几个数学问题,请高手回答一下.
1. 1^2+2^2+3^2+4^2+……（N-1）^2=[(N-1)N(2N-1)]/6 是怎么证出来的?
2.1^2+2^2+3^2+4^2+……（N-1）^2+N^2=?
3.同样1^3+2^3+3^3+4^3+……（N-1）^3+N^3=?
4.那么1^m+2^m+3^m+4^m+……（N-1）^m+N^m=?
最好有步骤,要的是结果是表达式,不一定都要回答,主要是前三个,都回答出来我再加20分
^是次方的意思，例如2^2是2的平方，4^3是4的3次方

Answer 1

1、证明：当N=1时,上式成立；当N=2时,也成立；.当N=K时,上式也成立,即
1²+2²+3²+…+（K-1）²=K（K-1）（2K-1）/6
（假设当N=K+1时,上式也成立即可）
当N=K+1时,式子变为 1²+2²+3²+…+（K-1）²+K²=K（K-1）（2K-1）/6+K²
=[K（K-1）（2K-1）+6K²]/6
=K[（K-1）（2K-1）+6K]/6
=K（2K²-K-2K+1+6K）/6
=K（2K²+3K+1）/6
=K（K+1）（2K+1）/6
2、证明同上
当N=1时,上式成立；当N=2时,也成立；.当N=K时,上式也成立,即
1²+2²+3²+…+（K-1）²+K²=K（K+1）（2K+1）/6
当N=K+1时,式子变为1²+2²+3²+…+（K-1）²+K²+（K+1）²
=K（K+1）（2K+1）/6+（K+1）²
=K（K+1）（2K+1）/6+6（K+1）²/6
=（K+1）[K（2K+1）+6（K+1）]/6
=（K+1）[2K²+K+6K+1]/6
=（K+1）（2K²+7K+1]/6
=（K+1）（K+2）（2K+3）/6
3、证明：1³+2³=9=3²=（1+2）²
1³+2³+3³=36=6²=（1+2+3）²
1³+2³+3³+4³=100=10²=（1+2+3+4）²
…………………………………………
1³+2³+3³+4³+…+N³=（1+2+3+…+N）²=[（1+N）N/2]²=N²（1+N）²/4