数列{An}的前n项和为Sn,且A1=1,A（n+1）=1\3·Sn,n=1,2,3,…,求A2,A3,A4的值及数列{An}的通项公式设数列{An}的前n项和Sn=2An—4（n∈N*）,数列{Bn}满足：B（n+1）=An+2Bn且B1=2（1）.求An（2）.求{Bn}的前n项和Tn

Question

数列{An}的前n项和为Sn,且A1=1,A（n+1）=1\3·Sn,
n=1,2,3,…,求A2,A3,A4的值及数列{An}的通项公式
设数列{An}的前n项和Sn=2An—4（n∈N*）,数列{Bn}满足：
B（n+1）=An+2Bn且B1=2
（1）.求An
（2）.求{Bn}的前n项和Tn

Answer 1

A2=S1/3=A1/3=1/3
A3=S2/3=(1+1/3)/3=4/9
A4=S3/3=(1+1/3+4/9)/3=16/27
A（n+1）=1/3·Sn
A（n）=1/3·S（n-1） ( n>=2 )
相减A（n+1）-An=An/3
A（n+1）=4An/3
等比数列
An=(4/3)^(n-2)A2=(4/3)^(n-2)/3 ( n>=2 )
A1=1
Sn=2An—4 ( n>=2)
S(n-1)=2A(n-1)-4
相减 An=2An-2A（n-1)
An=2A(n-1) ( n>=2)
S1=A1=2A1-4 suoyi A1=4
等比数列 所以An=2^(n-1)A1=2^(n+1)
B（n+1）=An+2Bn=2^(n+1)+2Bn
所以B（n+1）/2^(n+1)=Bn/2^(n)+1
suoyi Bn/2^(n)是等差数列 首项为B1/2=1
suoyi Bn/2^(n)=n
Bn=n*2^(n)
Tn= 2+...+(n-1)*2^(n-1)+n*2^(n)
2Tn=4+...+(n-1)*2^(n)+n*2^(n+1)
错位相减Tn=2Tn-Tn=n*2^(n+1)-(2^n+2^(n-1)+...+2)
=n*2^(n+1)-2^(n+1)+2
=(n-1)*2^(n+1)+2