求360的所有正约数的倒数和．

Question

求360的所有正约数的倒数和．

Answer 1

设正整数a的所有正约数之和为b，d₁、d₂、d₃、d₄…d_n为a的所有正约数从小到大的排列，于是d₁、=1，d₂、d₃、d₄…d_n为a的所有正约数从小到大的排列，于是d₁=1，d_n=a，
由于S=(1)/(d1)+(1)/(d2)+(1)/(d3)+…+(1)/(dn)中各分数分母的最小公倍数为d_n=a，
故S=(dn)/(dn)+(dn−1)/(dn)+(dn−2)/(dn)+…+(d1)/(dn)=(d1+d2+d3+…dn)/(dn)=(b)/(a)，
而a=360=2³×3²×5，
故b=（1+2+2²×2³）×（1+3+3²）×（1+5）=1170，
所以360的所有正约数的倒数和为：(1170)/(360)=3(1)/(4)．
故答案为：3(1)/(4)．