用d（n）表示正整数n的正约数的个数,证明：存在无穷多个正整数n,使得d(n)+d(n+1)+1是3的倍数?初三的

Question

用d（n）表示正整数n的正约数的个数,证明：存在无穷多个正整数n,使得d(n)+d(n+1)+1是3的倍数?初三的

Answer 1

初三就有这种题目?好吧,也许是我想的太复杂了.我说一下我的解法吧,其中用到了同余的知识.

首先,对于一个正整数,将其标准分n=(p1^a1)(p2^a2)...(pm^am),其正约数的个数为的d(n)=(a1+1)(a2+1)...(am+1),这是显而易见的,是数论中的一个定理,这儿就不证明了.

接下来,我们证明形如8n+3或8n+5的质数有无穷多个.假设只有有限个,设为p1,p2,...,pm,则构造数q=2(p1p2...pm)²+1.注意到pi²≡1(mod 8)(i=1,2,...,m),∴q≡3(mod 8).如果q是质数,他是8n+3的形式,且比p1,p2,...,pm都要大,这与假设矛盾!如果q是合数,设p是它的一个质因子,由于p1,p2,...,pm均不整除q,那么p≠p1,p2,...,pm,换句话说,p不可能是8n+3或8n+5的形式,只可能是8n±1的形式,即对任意q的质因子p,p≡±1(mod 8),而这样的质因子相乘是不可能得到q≡3(mod 8)的,矛盾!
综上我们证明了形如8n+3或8n+5的质数有无穷多个.

显然3是满足条件的n.以下我们证明如果n0满足条件,我们必能找到一个大于n0的整数满足条件.这样我们就证明了存在无穷多个正整数n满足条件.

我们先找一个远大于n0的形如8n+3或8n+5的质数r（这样的质数有无穷多个,因此是可以找到的）,若r为8n+3的形式,则r即为我们所找的n,因为d(r)=2,d(r+1)=d(8n+4)=d(2²×s)（s是奇数）=3d(s)是3的倍数,∴d(r)+d(r+1)+1是3的倍数.
如果r为8n+5的形式,则r-1即为我们所找的n,理由同上.

综上,我们就证明了存在无穷多个正整数n,使得d(n)+d(n+1)+1是3的倍数