麻烦问一下：两个正整数的公因数一定是它们最大公因数的因数吗?最好能给出证明自己想了想，写了个证明，看下是否合适证明：设k=gcd(a,b),则有a=km,b=kn易知m,n互质。设x为a,b的任一公约数,

Question

麻烦问一下：两个正整数的公因数一定是它们最大公因数的因数吗?
最好能给出证明
自己想了想，写了个证明，看下是否合适
证明：
设k=gcd(a,b),则有a=km,b=kn
易知m,n互质。
设x为a,b的任一公约数,有a=px,b=qx
若x不是k的因子
a=km=pij=px,b=kn=qij=qx (i是k的因数,j是m,n的因数)
因为i1
即(m,n)>1与m,n互质矛盾
证明完毕.
注：(m,n)指的是m,n的公因数

Answer 1

对的.
举个反例子.
12=2*2*3和8=2*2*2,这两个正整数的公因数有：12,4.1,2,4是它们的最大公因数4的因数.