1、求证形如4K-1的正整数必有相同形式的质因数.2、求证：当n>1时,1+1/2+1/3.+1/n不是整数

Question

1、求证形如4K-1的正整数必有相同形式的质因数.
2、求证：当n>1时,1+1/2+1/3.+1/n不是整数

Answer 1

1.用反证法,假设不存在4k-1型的质因数.
对4k-1进行质因数分解4k-1是奇数,由于大于2的素数都是奇数,因此所有素因子必然都是4s+1型的.
那么：
4k-1=(4s1+1)^t1*(4s2+1)^t2*.*(4sm+1)^tm
把后面的式子与前面的式子同时mod 4得：
-1= 1 mod 4
矛盾,因此必然存在,更一般的,4s-1型的素因子的个数还必然是奇数个.
2.对整个式子通分,记为A/B,如果是整数,那么A/B是整数,即B|A.
B=n!而对于任意一个i,2