星形线x=2cos3θ，y=2sin3θ在点（22，22）处的曲率半径为．

Question

星形线x=2cos³θ，y=2sin³θ在点（(√(2))/(2)，(√(2))/(2)）处的曲率半径为______．

Answer 1

由于y′(x)＝((dy)/(dθ))/((dx)/(dθ))＝(6sin2θcosθ)/(−6cos2θsinθ)＝−tanθ，因而
y″(x)＝(dy′(x))/(dθ)•(dθ)/(dx)=−sec2θ•(1)/(−6cos2θsinθ)＝(1)/(6cos4θsinθ)
又点（(√(2))/(2)，(√(2))/(2)）对应的θ＝(π)/(4)
∴y′(x)|θ＝(π)/(4)＝−1，y′′(x)|θ＝(π)/(4)=(2√(2))/(3)
∴曲率K＝(1)/(3)
∴所求曲率半径R＝(1)/(K)=3